2017-01-24

ニュートン法を使って、平方根を求めるアルゴリズムを書いてみよう

Goのプレイグラウンドで遊んでたら、フロー制御の章でニュートン法を使って平方根を求めましょう( A Tour of Go )と言われたので調べた。

ニュートン・ラフソン法(Newton-Raphson method)ともいう。

与えられた関数 $f$ について $f(x)=0$ になる $x$ の近似解を求める方法である。

例えば、 $x^2-2=0$ の解である $\sqrt{2}$ は無理数(1.41421356...)である。有効桁数があるコンピューターは、この値を誤差なく持つことは不可能であるが、ニュートン法を用いて計算を繰り返すことで、型が持つ有効桁数の範囲で解に近い値を求めることができる。

やってみよう

Goの問題は、引数として与えられる数( $k$ とする)の平方根( $x$ とする)を求めるアルゴリズム sqrt(k float64)(x float64) を書くというものである。ニュートン法を使って解いてみよう。

引数として与えられた $k$ の平方根 $x$ を求めることから、

$k = x^2$ 　より

$x^2 - k = 0$ という方程式を解けば平方根が求まる。

$k = 2$ のときを例に解法を説明する。以下は $x^2 - 2$ の曲線とその接線のグラフである。接線は解 $x$ ( $= \sqrt{ 2 }$ )よりも大きな値を適当にとり( $\displaystyle x_0$ とする)、引いた。

f:id:bambinya:20170124225900p:plain

上の図から分かるように、接線の $x$ 切片 $\displaystyle x_1$ は、 ${\displaystyle x_0} {\displaystyle \gt} {\displaystyle x_1} {\displaystyle \gt} x(= \sqrt{ 2 } )$ という値をとる。この性質を使い、次は $\displaystyle x_1$ を元に曲線の接線を引き、 $x$ 切片を求める。これを繰り返すことで、真の解に近づけていく。反復回数が多いほど精度が上がっていく。グラフでは下記のようになる。

f:id:bambinya:20170124231411p:plain

この反復処理は、 $\displaystyle x_1$ を $\displaystyle x_0$ で表す漸化式を求めるとfor文で書ける。

$\displaystyle x_1$ を $\displaystyle x_0$ で表す式を求める。

接線の傾きは微分で求められる。

$f(x) = x^2 - k$

$f'(x) = 2x$

$\displaystyle x_0$ の時の接線の傾きは $2\displaystyle x_0$ であり、これはyの変化量をxの変化量で割ったものと等しい。下記を参照のこと。

f:id:bambinya:20170124223222p:plain

式にすると、

$2\displaystyle x_0 = \frac{\displaystyle x_0^2 - k} {\displaystyle x_0 - \displaystyle x_1}$

両辺に $x_0 - \displaystyle x_1$ をかけて整理すると、以下の式が得られる。

$\displaystyle x_1 = \frac{\displaystyle x_0^2 + k}{2\displaystyle x_0}$

( $\displaystyle x_1$ を $\displaystyle x_0$ で表す漸化式。 $k$ is given.)

この漸化式を用いて、Goでfor文を書くと次のようになる。

関数とループを使った簡単な練習として、ニュートン法を使った平方根の計算を実装してみましょう。( ...

おしまい。

2016-10-22

Rubyのオブジェクトモデルを紹介しました。

speakerdeck.com

2016-07-10

zshellを導入したときのメモ

ログインシェルをbashから、zshellに変更した。

brewでzshをインストール。

$ brew install zsh
... 🍺 ...

$ which zsh
/usr/local/bin/zsh

システムで有効なログインシェルの一覧を、/etc/shellsで見ることができる。
ログインシェルとは、ユーザーがシェルにログインしたときに、最初に起動するシェルのこと。
Mac OS Xだと、bash以外に csh ksh sh tcsh zsh が入っている。

$ cat /etc/shells
# List of acceptable shells for chpass(1).
# Ftpd will not allow users to connect who are not using
# one of these shells.

/bin/bash
/bin/csh
/bin/ksh
/bin/sh
/bin/tcsh
/bin/zsh

システムにプリインストールされていたzshと、brewでインストールしたzshのバージョンを比較する。
brewからインストールしたzshの方が新しい。

$ /bin/zsh --version
zsh 5.0.5 (x86_64-apple-darwin14.0)

$ /usr/local/bin/zsh --version
zsh 5.2 (x86_64-apple-darwin14.5.0)

/etc/shellsに、/usr/local/bin/zshを追記する。

$ sudo bash -c 'echo /usr/local/bin/zsh >> /etc/shells'
Password:

catで追加されたことを確認し、change shellコマンドのchshを実行する。

$ cat /etc/shells
# List of acceptable shells for chpass(1).
# Ftpd will not allow users to connect who are not using
# one of these shells.

/bin/bash
/bin/csh
/bin/ksh
/bin/sh
/bin/tcsh
/bin/zsh
/usr/local/bin/zsh

$ chsh -s /usr/local/bin/zsh
Password for Bambi:

設定は、~/.zshrcに書く。なければ作成する。
~/.bashrcと~/.bash_profileから、エイリアスと環境変数を移せば、完了です〜 😋